从摸球游戏与凯利公式思考投资体系的重要性

先从摸球问题开始

A袋:99个白球和1个黑球。如果摸出白球则你胜,赔率是1:1;如果摸出黑球,则庄家胜,赔率是1:120

B袋:1个白球和99个黑球。如果摸出白球则你胜,赔率是1:80;如果摸出黑球,则庄家胜,赔率是1:1

C袋:100个白球。摸出来就是你胜,赔率是1:1。然而你每个月只能摸一次,而且投注不能超过1000元。

D袋:这个袋子比较复杂了:

50个黑球 你输 赔率1:1
10个蓝球 你输 赔率1:2
4个红球 你输 赔率1:3
20个绿球 你赢 赔率1:1
10个白球 你赢 赔率1:5
3个黄球 你赢 赔率1:10
3个透明球 你赢 赔率1:20

选择哪个袋子摸球最划算:

期望收益= PW * AW- PL * AL,其中:

PW:一次交易的盈利概率

PL:一次交易的亏损概率

AW:平均盈利额

AL:平均亏损额

对于A袋来说,PW=99%,AW=1,PL=1%,AL=120,所以A袋期望收益率=0.99*1-0.01*120=-0.21。这意味着从长期看,A袋是亏钱的,你每投入一元钱,它会使你损失0.21元。同理,

B袋期望收益率=0.01*80-0.99*1=-0.19

C袋期望收益率=100%*1=1

D袋期望收益率=(20%*1+10%*5+3%*10+3%*20)-(50%*1+10%*2+4%*3)=0.78

这个就是“期望值计算”。

看完答案,大家都明白期望值才是决定我们要摸那个袋子的决定因素,但是大多数人本能会选择的是什么:白球多的袋子或者白球赔率异常高的袋子。

其实这就是无论风险还是收益,都不只是概率,还有后果,也就是期望值。

概率*后果=期望值

A袋子,你发现白球多,但是黑球后果太严重,总和起期望值是负的。

B呢,白球少,但是摸到的话就爽歪歪 赚大钱。问题是,黑球的微小损失加上黑球的数量,把白球的获利给抹平了,依然是负的。

揭晓一下每个袋子代表的意义:

A袋代表犯罪获利,贪污、抢劫、勒索,在这个袋子摸球,你永远不知道什么时候摸到黑球爆仓。

B袋子是彩票,一次性能获得暴利,但是概率极低。

C是工资 ,D是投资。

这个是简单的剖析。

然后我们进一步想,其实期望值本质是什么。

什么是公允值?

比如说第一个袋子,期望值是-0.21。摸一次,你的期望值是-0.21。摸两次,你的期望值是-0.42。而实际情况是怎么样的?有可能你第一次、第二次都是白球,账面上你是赚了2,但是公允值是-0.42。什么时候体现出公允值的威力?当你摸出黑球的时候。实际上,你摸球次数越多,摸到黑球的概率就越高。原因就是因为你偏离公允值太多,均值回归而已。任何投资品都一样,最后都会收敛到公允值附近。参与摸球次数越多,回归概率越大,次数越少,随机性越强。

所以,彩票不是投资,是消费。就算有个人第一次买彩票就中大奖 也不能掩盖彩票是个负收益系统的事实。

负收益系统,也就是期望值为负的系统有一个非常大的特性,叫做“仓位控制无效”。 也就是无论你用什么策略或者仓位控制手段,你都无法使自己的投资收益率长期为正。

所以当你选择了A,B袋子,你就输在起跑线了。方向不对,选择错误,无论多努力,无论什么策略,最终都会爆仓,除非你换袋子。

所以,摸球题里面我们能得出第一个结论:选择正收益系统去摸球,不要选择负收益。

如何选择到正收益系统,一个看在这个系统里面长期摸球的人存活率如何,收益如何。

为什么我们会选择价值投资?自有证券交易市场以来,经过这么长时间,最终在这个市场胜出的大概率是价值投资者。而且最重要的一点,指数基金没听说过爆仓这回事,自从有指数以来,都是保持正收益。价值投资的基石就是指数投资。

负期望系统的投资,就算你一开始赢钱,你也要看到你实际内涵期望值是负的,也就是不管你账面浮盈,其实你摸一次就亏了几个百分点,只不过会在未来体现而已。

有人会说 最多老子摸几次换袋就行。这个问题要考虑路径依赖。当你从这个系统赚钱的时候,你肯定会觉得这个是正收益系统,或者你觉得你绝对是负收益系统里面那个一开始就能摸到奖的人,然后你会继续摸,到摸出黑球爆仓。

OK,是上半部分。

对了,半部分的定量部分,就是尝试用各种办法在A,B袋里面算最佳投资策略,然后发现只能算出最小亏损的投资策略,也就是无论怎么算,还是亏损的。

首先大家忘记凯利公式,看看这样一个摸球题:

黑白球各一半,摸到白球,赔3倍,输的话亏本金。如果我们总共有100块钱来玩这个游戏,每次应该下注多少?

先算算期望值:50%*2-50%*1=50%

期望值为正,所以这个游戏值得玩。

知道凯利公式的人肯定知道,能够计算出这个下注应该多少。

我们来试图自己计算,100元如果每次买80会有什么效果,只算一次赚一次亏就行,这个80是指80%的仓位。因为我们投资都是按仓位来的,价值投资的人都知道复利,没人会抛弃复利。

第一次投80得到240,第二次本金变成240+20、第二次投260的80%,208亏光,剩下52元,所以每次投80%仓位两次预期亏损是48元。自己动笔算会发现无论先赚再亏还是先亏再赚都是不影响结果的。

这个策略不行 我们换策略,只投30%。根据上面的计算 你会发现最后盈利12元,换10% 就赚8元,50% 是不赚不赔。

你如果画出一个坐标曲线图,你会发现这个函数有个极值,这个极值就是凯利公式。列出来比较明显 :

0%    -28

50%   0

30%   12

10%   8

所以极值是在10%-30%中间,其实直接用凯利公式算,是25%,这个题目的最优解,是你每次投入仓位的25%。无限次投资,你每次投资都能以12.5%的复利增长。这就是凯利公式的本质,一个粗浅的推导过程。

这个推导过程有什么用呢?首先判断投资系统是正的吧?这个赌局应该参加,但是选对了袋子,还要选对策略,不然按80%的仓位投入,你结果依然是亏损的。

所以,投资不是一件容易的事情,这是正常的,这里就是从量化层面告诉你,你必须选择对袋子,还要选择对策略,不然结果就是亏损的。投资体系的完善非常重要,在这里的人大部分选对了袋子,成功一半了,接下来要做的就是选对策略,构建自己完善的投资体系,才能实现自己人生的永远正收益。

然后引申思考,你会发现,如果25%以上仓位,你投入越大,损失越多。

所以孤注一掷是不合理的,长期孤注一掷 最终就是爆仓!

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