先从摸球问题开始
A袋：99个白球和1个黑球。如果摸出白球则你胜，赔率是1：1；如果摸出黑球，则庄家胜，赔率是1：120
B袋：1个白球和99个黑球。如果摸出白球则你胜，赔率是1：80；如果摸出黑球，则庄家胜，赔率是1：1
C袋：100个白球。摸出来就是你胜，赔率是1：1。然而你每个月只能摸一次，而且投注不能超过1000元。
D袋：这个袋子比较复杂了：
50个黑球 你输 赔率1：1
10个蓝球 你输 赔率1：2
4个红球 你输 赔率1：3
20个绿球 你赢 赔率1：1
10个白球 你赢 赔率1：5
3个黄球 你赢 赔率1：10
3个透明球 你赢 赔率1：20
选择哪个袋子摸球最划算：
期望收益= PW * AW- PL * AL，其中：
PW：一次交易的盈利概率
PL：一次交易的亏损概率
AW：平均盈利额
AL：平均亏损额
对于A袋来说，PW=99%，AW=1，PL=1%，AL=120，所以A袋期望收益率=0.99*1-0.01*120=-0.21。这意味着从长期看，A袋是亏钱的，你每投入一元钱，它会使你损失0.21元。同理,
B袋期望收益率=0.01*80-0.99*1=-0.19
C袋期望收益率=100%*1=1
D袋期望收益率=(20%*1+10%*5+3%*10+3%*20)-(50%*1+10%*2+4%*3)=0.78
这个就是“期望值计算”。
看完答案，大家都明白期望值才是决定我们要摸那个袋子的决定因素，但是大多数人本能会选择的是什么：白球多的袋子或者白球赔率异常高的袋子。
其实这就是无论风险还是收益，都不只是概率，还有后果，也就是期望值。
概率*后果=期望值
A袋子，你发现白球多，但是黑球后果太严重，总和起期望值是负的。
B呢，白球少，但是摸到的话就爽歪歪 赚大钱。问题是，黑球的微小损失加上黑球的数量，把白球的获利给抹平了，依然是负的。
揭晓一下每个袋子代表的意义：
A袋代表犯罪获利，贪污、抢劫、勒索，在这个袋子摸球，你永远不知道什么时候摸到黑球爆仓。
B袋子是彩票，一次性能获得暴利，但是概率极低。
C是工资 ，D是投资。
这个是简单的剖析。
然后我们进一步想，其实期望值本质是什么。
什么是公允值？
比如说第一个袋子，期望值是-0.21。摸一次，你的期望值是-0.21。摸两次，你的期望值是-0.42。而实际情况是怎么样的？有可能你第一次、第二次都是白球，账面上你是赚了2，但是公允值是-0.42。什么时候体现出公允值的威力？当你摸出黑球的时候。实际上，你摸球次数越多，摸到黑球的概率就越高。原因就是因为你偏离公允值太多，均值回归而已。任何投资品都一样，最后都会收敛到公允值附近。参与摸球次数越多，回归概率越大，次数越少，随机性越强。
所以，彩票不是投资，是消费。就算有个人第一次买彩票就中大奖 也不能掩盖彩票是个负收益系统的事实。
负收益系统，也就是期望值为负的系统有一个非常大的特性，叫做“仓位控制无效”。 也就是无论你用什么策略或者仓位控制手段，你都无法使自己的投资收益率长期为正。
所以当你选择了A,B袋子，你就输在起跑线了。方向不对，选择错误，无论多努力，无论什么策略，最终都会爆仓，除非你换袋子。
所以，摸球题里面我们能得出第一个结论：选择正收益系统去摸球，不要选择负收益。
如何选择到正收益系统，一个看在这个系统里面长期摸球的人存活率如何，收益如何。
为什么我们会选择价值投资？自有证券交易市场以来，经过这么长时间，最终在这个市场胜出的大概率是价值投资者。而且最重要的一点，指数基金没听说过爆仓这回事，自从有指数以来，都是保持正收益。价值投资的基石就是指数投资。
负期望系统的投资，就算你一开始赢钱，你也要看到你实际内涵期望值是负的，也就是不管你账面浮盈，其实你摸一次就亏了几个百分点，只不过会在未来体现而已。
有人会说 最多老子摸几次换袋就行。这个问题要考虑路径依赖。当你从这个系统赚钱的时候，你肯定会觉得这个是正收益系统，或者你觉得你绝对是负收益系统里面那个一开始就能摸到奖的人，然后你会继续摸，到摸出黑球爆仓。
OK，是上半部分。
对了，半部分的定量部分，就是尝试用各种办法在A,B袋里面算最佳投资策略，然后发现只能算出最小亏损的投资策略，也就是无论怎么算，还是亏损的。
首先大家忘记凯利公式，看看这样一个摸球题：
黑白球各一半，摸到白球，赔3倍，输的话亏本金。如果我们总共有100块钱来玩这个游戏，每次应该下注多少？
先算算期望值：50%*2-50%*1=50%
期望值为正，所以这个游戏值得玩。
知道凯利公式的人肯定知道，能够计算出这个下注应该多少。
我们来试图自己计算，100元如果每次买80会有什么效果，只算一次赚一次亏就行，这个80是指80%的仓位。因为我们投资都是按仓位来的，价值投资的人都知道复利，没人会抛弃复利。
第一次投80得到240，第二次本金变成240+20、第二次投260的80%，208亏光，剩下52元，所以每次投80%仓位两次预期亏损是48元。自己动笔算会发现无论先赚再亏还是先亏再赚都是不影响结果的。
这个策略不行 我们换策略，只投30%。根据上面的计算 你会发现最后盈利12元，换10% 就赚8元，50% 是不赚不赔。
你如果画出一个坐标曲线图，你会发现这个函数有个极值，这个极值就是凯利公式。列出来比较明显 ：
0% -28
50% 0
30% 12
10% 8
所以极值是在10%-30%中间，其实直接用凯利公式算，是25%，这个题目的最优解，是你每次投入仓位的25%。无限次投资，你每次投资都能以12.5%的复利增长。这就是凯利公式的本质，一个粗浅的推导过程。
这个推导过程有什么用呢？首先判断投资系统是正的吧？这个赌局应该参加，但是选对了袋子，还要选对策略，不然按80%的仓位投入，你结果依然是亏损的。
所以，投资不是一件容易的事情，这是正常的，这里就是从量化层面告诉你，你必须选择对袋子，还要选择对策略，不然结果就是亏损的。投资体系的完善非常重要，在这里的人大部分选对了袋子，成功一半了，接下来要做的就是选对策略，构建自己完善的投资体系，才能实现自己人生的永远正收益。
然后引申思考，你会发现，如果25%以上仓位，你投入越大，损失越多。
所以孤注一掷是不合理的，长期孤注一掷 最终就是爆仓！